대수학은 간단히 말해서 연립방정식을 푸는 것이라 보시면 됩니다
뭐 이상한 말처럼 들릴지는 모르지만요
대수학이라는 것은
초등학교때를 생각해보시면 사칙연산 즉 덧셈 뺄셈 나눗셈 곱셈 이 내가지를 자연수, 또 분수 라는 유리수에만
극한시켜서 계산하고 배웠죠
자연수라는것은 눈에 보이는것이고 물론 손가락셈으로도 계산할수있는 기본적인 수입니다
그러나 중.고등학교때는 어떤가요
본격적으로 안보이는 수도 공부하게 되죠 뭐 음의 정수라던지 무리수, 허수(크게는 복소수)라던지..
물론 중 고등학교때는 이러한수들의 여러가지 법칙(결합, 분배법칙) 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈에 대한것들도 배웁니다
이제 본론으로 들어가자면
대수학은 정수론이란 학문으로부터 시작해
정수(대문자 Z 라고 표시)가 가지는 여러가지 성질을 배운 후 좀더 확장하여 선형대수, 현대대수등의 학문에 영향을 끼쳤습니다
수학중에 위상수학이라는 것이 있는지 아시는지요. 뭐 이걸 간단히 설명하자면
수에서의 거리나 여러가지 계산들을 상을 옮겨서 생각하고 연구하는 학문인데
여기서 상이라는것은 간단히 실수체계에서 본다면
1차원 2차원 3차원. . . . .n차원까지.. 이렇게 옮기면서 1찬원에서의 수의 성질들이 n차원에서 성립하는가
성립하면 생겨나는 공식들과 뭐 여러가지것들.. 더이상은 좀 복잡해질것 같네요
대수학도 이런 위상수학처럼 처음에는 정수범위내에서 수를 선택하지만
복소수에서 , 유리쉐서, 결합법칙 교환법칙 항등원 역원 사칙연산에 대해 닫혀있다 아니다
에따라서 어떤것은 군, 환, 체 가 되고 어떤것은 군 환 체가 되지 않는것도 있는데
뭐 이러한 것들에 대한 연구를 하는 학문이 대수학이라 보시면 됩니다
대수학은 선형대수 정수론 현대대수등으로 나누어 져있는데
선형대수는 백터를 아시죠? 즉 백터에대한 사칙연산과 결합 교환 법칙의 성립여부를 확인하고
그리고 백터를 모으면 행렬이 되는데 거기서 의 여러가지 연산을 배우고
최종목적은 대수의 최종목적인 연립방정식을 푸는것에 있습니다
그래서 선형대수학을 하다보면 가우스 소거법 (일명과간법) 크래머 해법 , 어드조인트 행렬을 이용한 해법
등의 여러가지 연립방정식을 풀기위한 것들이 나옵니다
그리고 정수론은 정수에 대해 연립방정식을 푸는것인데
뭐 간단히 예를 들면 x + y + z =111 의 일반적인 해를 구하는것에 목적이 있습니다
피타고라스 정리의 확장인 x3 + y3 = z3 을 만족하는 일반적인 x,y,z 를찾는것 뭐 이러한 것들이 정수론
마지막으로 현대대수는 정수론에서의 개념을 확장하여
정수 뿐만 아니라 유리수 허수(복소수), 무리수 등에대해서도 방정식의 해를 구하려 하는것입니다
자 이제 해석학은
수치해석, 복소해석, 실해석, 해석학 등으로 분류 됩니다
그리고 해석학의 기본은 미분, 적분을 사용하거나 하기위해서 배우는 학문입니다
수치해석은 유효숫자 아시죠? 다시 말해서
미분이나 적분을 이용해 어떤 계산결과에 대한 수치를 연구하는 학문으로
오차를 줄이기 위한 방법 등이나 오류가 덜나게 하기 위한 방법들을 연구하는것으로
계산결과를 좀 정확하게 나타낼수 있게하는것인데 요즘에는 메이프리나 뭐 다른 수학프로그램을 이용해
사용되고 있꼬
복소해석은 말그대로 복소수에 대해 연구하는 학문으로
허수인 i를 이용해 실수에서의 적분이 안되거나 미분이 안되었던 여러가지 식을 적분하고
미분하는것이 최종목적이고 뒤에뒤에 가면 유수의 정리 라던지 코시 구르사 정리라던지를 이용해서
실수에서의 적분이 안되던것을 좀더 쉽게 적분할수있게 됩니다
실해석은 또한 허수가 아닌 실수에서의 적분을 하기위해 여러가지를 배우는 학문입니다
뭐 우리가 고등학교때까지 알고있었던 부분구적법을 이용한 적분을 배우는것이 아니라
리만 스트레스 적분이라는 것을 목표로하여 연속이나 미분가능 등을 점검하고
적분까지 배우는 학분입니다
해석학은 모든 해석학의 기본되는 것으로 고등학교때 배웠던 수열부터 극한 미분의 개념
적분의 개념 들을 다시 세부적으로 설명하여 실해석을 배우기 전의 기본적인 학문이라 보시면 됩니다
이렇게 장황하게 말했지만
대수학과 해석학의 연관성은
대수학의 목적은 방정식의 일반적인 해를 찾는것이 목적이고
해석학은 적분을 이용하여 적분값을 찾는 것이 목적이지만
정수론이랑 실해석이랑은 조금 연관이 있다고 보여지지만
대수학은 좀더 추상적이고 해석학은 추상적이진 않지만 조금 복잡하다는
그리고 대수학의 일부분인 정수론에서 암호론이라는 학문이 있는데
가우스의 나머지 정리를 이용해서 암호를 만들고 해독하고 뭐 지금은 RSA 암호체계라는것을 발달시켜서
눈에 보이지는 않지만 보안업체나 보안시스템 신용카드 조회 개인정보 보호 등에 활용되고 있습니다
그리고 해석학은 미분적분에 관한것들이기 때문에 공대생이나 컴퓨터 분야에서도 사용되고 있습니다
수학이라는것이 눈에 보이지 않아서 공부하기가 조금 힘든 부분도 있지만
산업발다에 도움을 주는 학문이죠 즉 수학자 들이 공식을 만들면 공대사람드리 그 공시글 이용해
좀더 빨리 많이 편하게 계산하고 그값을 가지고 건축이나 컴퓨터 등에 사용되는것 같습니다
